ММФ (экзамен)

Экзаменационные вопросы по курсу «Методы математической физики»
для студентов 3 курса физического факультета ЯрГУ

(преподаватель — Кузнецов Александр Васильевич)

Дата: 30 декабря 2011 г.

1. Приведение линейных уравнений с двумя независимыми переменными к канонической форме. Уравнение гиперболического типа.
2. Приведение линейных уравнений с двумя независимыми переменными к канонической форме. Уравнение параболического типа.
3. Приведение линейных уравнений с двумя независимыми переменными к канонической форме. Уравнение эллиптического типа.
4. Уравнение малых поперечных колебаний струны.
5. Уравнение колебаний мембраны.
6. Уравнение продольных колебаний стержня.
7. Метод распространяющихся волн. Формула Даламбера.
8. Метод распространяющихся волн на полуограниченной прямой.
9. Метод разделения переменных в уравнениях гиперболического типа.
10. Метод разделения переменных в неоднородном гиперболическом уравнении; при неоднородных граничных условиях.

(Вопросы 1-10 соответствуют 1-й контрольной работе)

1. Одномерное уравнение теплопроводности.
2. Уравнение диффузии.
3. Постановка краевых задач для параболических уравнений.
4. Метод разделения переменных в уравнениях параболического типа. Функция мгновенного точечного источника.
5. Неоднородное уравнение теплопроводности.
6. Распространение тепла на неограниченной прямой.

(Вопросы 11-16 соответствуют 2-й контрольной работе)

1. Уравнение Лапласа.
2. Первая и вторая формулы Грина.
3. Основная интегральная формула Грина.
4. Свойства гармонических функций. Единственность и устойчивость первой краевой задачи для уравнения Лапласа.
5. Функция источника для уравнения Лапласа.
6. Метод электростатических изображений и функция источника уравнения Лапласа для сферы.
7. Разделение переменных в цилиндрических координатах. Уравнение Бесселя.
8. Разделение переменных в сферических координатах. Уравнение Лежандра.

(Вопросы 17-24 соответствуют 3-й контрольной работе)

1. Основные задачи, приводящие к уравнению Гельмгольца. Постановка внутренних краевых задач для уравнения Гельмгольца.
2. Функция точечного источника для уравнения Гельмгольца.
3. Системы квазилинейных уравнений.
4. Одномерные плоские адиабатические течения газа.
5. Численное решение систем квазилинейных уравнений методом характеристик.
6. Уравнение Кортевега–де Фриса. Солитонные решения.
7. Функции Бесселя.
8. Функции Неймана, Ханкеля, Макдональда.
9. Интеграл Бесселя.
10. Функции Бесселя полуцелого порядка. Асимптотика цилиндрических функций.
11. Полиномы Лежандра.
12. Присоединенные полиномы Лежандра. Сферические функции.
13. Общее уравнение для специальных функций.
14. Полиномы Чебышёва–Эрмита.
15. Полиномы Чебышёва–Лагерра.
16. Обобщенные полиномы Чебышёва–Лагерра.
17. Гипергеометрическая функция.
18. Вырожденная гипергеометрическая функция.
19. Сетки и сеточные функции. Аппроксимация дифференциальных операторов.
20. Разностная задача для уравнения теплопроводности.